Pythagoras and the Pythagoreans

15

What about odd perfect numbers? As we have seen Euler char-

acterized all even perfect numbers. But nothing is known about odd
perfect numbers except these few facts:

•

If

n

is an odd perfect number, then it must have the form

n

=

q

2

·

p

2

k

+1

,

where

p

is prime,

q

is an odd integer and k is a nonnegative integer.

•

It has at least 8 different prime factors and at least 29 prime factors.

•

It has at least 300 decimal digits.

Truly a challenge, finding an odd perfect number, or proving there are
none will resolve the one of the last open problems considered by the
Greeks.

5

Figurate Numbers.

Numbers geometrically constructed had a particular importance to the
Pythagoreans.

Triangular numbers.

These numbers are 1, 3, 6, 10, ... . The

general form is the familiar

1 + 2 + 3 +

. . .

+

n

=

n

(

n

+ 1)

2

.

Triangular Numbers