Pythagoras and the Pythagoreans

20

A

B

C

D

If

ABC

is a right triangle, with right angle at

A

, and

AD

is perpen-

dicular to

BC

, then the triangles

DBA

and

DAC

are similar to

ABC

.

Applying the proportionality of sides we have

|

BA

|

2

=

|

BD

| |

BC

|

|

AC

|

2

=

|

CD

| |

BC

|

It follows that

|

BA

|

2

+

|

AC

|

2

=

|

BC

|

2

Finally we state and prove what is now called the Pythagorean Theorem
as it appears in Euclid

The Elements

.

Theorem I-47

. In right-angled triangles, the square upon the hy-

potenuse is equal to the sum of the squares upon the legs.

A

C

B

D

E

L

M

N

G

Pythagorean Theorem

Proof requirements:

   SAS congruence,

   Triangle area =

/2

         = base

        = height

 hb

b

 h